计算机能更快确定群同构了

明敏 发自 凹非寺

量子位 | 公众号 QbitAI

半个世纪没有进展的问题，如今终于有了新突破！

而且是一位华人科学家，单枪匹马搞定。

来自芝加哥伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的Xiaorui Sun，提出了一种新方法，能够更快速确定群同构。

要知道，让计算机确定群同构、图同构是一个非常复杂的问题。

一方面同构问题的解空间通常非常庞大，随着规模增加、需要考虑的可能性也会翻倍增加。另一方面即便在某些情况下两个结构同构，但是表现形式也会有所不同，给判断和比较增加了困难。

2015年，来自芝加哥大学的学者突破了图同构的计算加速，但是群同构算法的加速，在过去五十年里都没有明显进展。

而Sun的最新工作解决了群同构中被视为最难处理的一部分。

什么是群同构？

首先来理解什么叫做同构。

按照定义来说，就是两个数学结构之间存在一种一一对应的映射，它们包含相同的元素，并且元素之间也处于相同的关系中。

比如下面两个图虽然看起来不同，但它们是同构的，因为它们的顶点和边相同，并且点和边之间的关系一样。

群同构更加抽象一些。

一个群是由元素（如数字）组成的集合，这些元素可以根据某种运算相互组合，计算的和也包含其中。

举例如下，在下面两个群里，任意两个整数相加，结果总是另一个整数。

两个群包含两个元素，用同样的特定操作方式，所以它们是同构的。

同构是数学中的一个重要概念，同样也是计算机科学的基础。

图同构和群同构算法目前也都有非常广泛的应用。

比如图同构算法可以监测网络中的恶意攻击、能分析社交网络结构关系、用于推荐系统、构建语义图等。

群同构算法则在密码学、数学分析与挖掘、图像处理与CV等领域有重要应用。

而在实际应用场景里，不仅需要确定两个对象是否同构，还要保障计算速度。

算法的运行时间往往和处理对象中包含多少元素有直接关系，元素越多、时间越长，但是时长并不一定是线性增长的。

假设有两对群，一对包含5个元素，一对包含10个元素。确定10个元素的群同构问题，花费的时间是5个元素群的两倍？5的平方？还是2的五次方？

这和使用什么算法有一定关系。

1970年左右，普林斯顿大学的罗伯特·塔尔詹（Robert Tarjan）教授提出了一种方法，它的运行时间为n的log n次方（n为元素数量）。

此后半个世纪里，确定群同构的算法速度就停留在这里了。由于工具不够高效，这在一定程度上也影响了群同构的创新拓展。

Sun提出的方法，正是在这一基础上，实现了更快的运行时间：

怎么实现的？

Sun提出的方法，主要针对类为2的p群且指数为p。

它们类似于群，其中两个元素的乘积是另一个元素，并且乘积结果不受乘法顺序改变而改变。

他首先将群转换为了矩阵，由此将群同构问题转化为矩阵是否完全相似问题。

而且这里处理的矩阵具有特殊性质，任意两个矩阵组合等于另一个矩阵。

这样一来就将问题转化为判断两个矩阵空间是否为等距。

与此同时，方法中还引入了独创性的一步，将矩阵空间分为两个部分。一部分划定为核心，其中所有的矩阵都是简单的；其余部分中的矩阵则特别复杂。

这一步相当于将一个群划分为只有部分元素的子群。

然后Sun将不同算法应用在这些部分里。处理原则有点像做数独时的步骤。

先找到最简单的部分（矩阵空间的核心）解决，然后在难以判断的部分尝试所有可能的值——只要这部分不是非常多，处理时间也不会很长。

这样一来，Sun就在原有计算速率的基础上实现了加速，让群同构计算的速度范畴从指数时间向多项式时间逼近了一些。

更进一步，他的工作还提高了所有群同构算法加速的可能。

据个人官网介绍，Xiaorui Sun目前是伊利诺大学芝加哥分校计算机系的助理教授。

在此之前，他曾在UC伯克利西蒙思研究所、微软研究院工作过。本硕毕业于上海交通大学，后赴哥伦比亚大学攻读博士学位，研究方向为算法的设计与分析。

论文地址：
https://arxiv.org/abs/2303.15412

参考链接：
[1]https://www.quantamagazine.org/computer-scientists-inch-closer-to-major-algorithmic-goal-20230623/
[2]https://www.cs.uic.edu/~xiaorui/