一个叫做“弗斯腾伯格集合”的猜想

丰色 发自 凹非寺

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想象你面前有一张巨大的白纸，上面画了很多线，每条都指向不同的方向。

突然一阵风吹过，一些灰尘落在纸上。

此时一位乐于助人的数学家出现，告诉你某一条线上有多少灰尘。

你能根据这一信息，算出所有线条上总共有多少灰尘吗？

以上这个数学难题来自弗斯滕伯格集合猜想（the Furstenberg set conjecture）。

它于1999年诞生，至今已有24个年头——

尽管在数学史上还算年轻，但它看起来也不简单。

不过，好消息：

普林斯顿二年级研究生Kevin Ren和纽约大学王虹教授已经将它完整证明出来了。

并且有意思的是，俩人此前素未谋面，是在各自的研究中“不谋而合”地想到了同一方法，然后才合作发表了这篇成果。

华人师生解决诞生于1999年的数学猜想

要解决这个猜想，必须得先掌握豪斯多夫维数的概念。

通俗的来说，最接近这个想法的数学模型是拓扑维度。

对于日常物体，比如直线、长方形，它们的拓扑维度（以及豪斯多夫维数）必然是整数（分别为1、2）。

但是这个概念在描述某些不规则的集合比如分形的时候遇到了困难，而豪斯多夫维数则是一个描述这类集合的恰当工具。

在这些情况下，它可能为一个非整的有理数或者物理数。

比如科赫曲线（下图为它的4次迭代过程），每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的线组成，它的豪斯多夫维数就约等于1.26。

从某种意义上来说，这个数字意味着它比直线“大”，但又比二维物体要小。

说回开头的题目。

最早提出该问题的其实是加州理工学院的数学家托马斯·沃尔夫 (Thomas Wolff) 。

他同时给出了最小灰尘量的猜测。

根据题目中那位数学家给你的数字，我们能得出一条特定线条上看到的所有灰尘的最小豪斯多夫维数。

我们将它命名为s。

沃尔夫证明，所有灰尘的豪斯多夫维数必须至少为s + ½或2s（以较大者为准）。

不过他表示他只是提供了证明，这个结论不确定是谁先得出的。

而他本人怀疑最终极限可能比该结果还要高：

至少为(3s+1)/2。

这个怀疑又被数学界命名为“弗斯滕伯格猜想”。

2020年，还在MIT读本科的Kevin Ren首次接触到该猜想。

他在阅读了数学家让·布尔干 (Jean Bourgain) 的论文后，还是一头雾水。

（该数学家于2003年在一个特殊例子上取得了一些进展。）

不过Kevin Ren一直没有放弃这个问题。

今年6月，他发现芬兰于韦斯屈莱大学发表的一篇新论文又证明了该猜想的一个特例。

加上2019年MIT数学家拉里·古斯 (Larry Guth）与人合著的一篇论文中证明的特例，这让他觉得：

如果以某种方式将这两种特例结合起来，是不是能给出一个一般性的证明？

具体来看，2019年的研究证明了一个猜想，即我们把一些从远处看间隔很远的线拉近来看，其实会呈现“密集的一簇”的形式（a dense bundle）。

而今年6月的论文则给出了相反的情况：

规则的线条无论放大或缩小多少，其维度看起来都是一样的。

Kevin Ren接下来的三周都在思考这个问题，在做家务时他的脑子也在不断想象着“穿过点的线组”。

很快，他的灵感来了。

他意识到，如果我们放大或缩小一组线条，它的整体看起来只能要么是乱乱的一团（clumpy），要么是规则的一簇（regular）。

基于此，他就能够拼凑出一个对无论什么样的集合都有效的证明。

激动的Kevin Ren赶紧联系拉里·古斯（他在MIT指导过Kevin Ren），没想到古斯告诉他：

他2019年那篇论文的合著者之一、纽约大学王虹教授也证明了。

不过神奇的是，俩人联系上后才发现：

他们的想法可谓不谋而合，用到的策略是那么惊人地相似。

既然如此，他们选择合并各自的论点，共著一篇论文发表。

最后，来自莱斯大学的Nets Katz教授（也参与了该猜想的研究）评价称：

目前，Kevin Ren和王虹的论文还是预印本，尚未经过全面的同行评审。

但我估计其正确率有95%。

作者介绍

Kevin Ren，普林斯顿研二在读。

研究方向为傅立叶分析及其在几何测度理论和度量几何问题中的应用。

他本科（2018-2022）来自MIT，获得了数学和物理学位。

王虹，2019年从MIT博士毕业。

目前是纽约大学科朗研究所副教授，此前在UCLA担任了两年助理教授。

她的研究方向同为傅立叶分析及相关问题。

论文地址：
https://arxiv.org/abs/2308.08819
参考链接：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-cross-the-line-to-get-to-the-point-20230925/