多出来的六个维度，必须隐藏于卡拉比-丘流形之中

明敏 鱼羊 发自 凹非寺

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“人类生活在十维的宇宙中。”

这可不是什么《三体》看上头后的狂言，而是出自丘成桐之口。

这位数学最高奖——菲尔兹奖首位华人得主，曾在公开演讲中谈到：

人类生活在十维的宇宙中，但只有四维时空可见，剩下的六维空间蜷缩在一个几何结构特异的空间中。

没想到，这个看上去玄乎又难以理解的概念，会被世界级数学家肯定。

但实际上，弦论的支持者们始终认为平行宇宙必定具有十个维度，并一直力求证明其存在。

对，就是Sheldon痴迷的那个弦论。

而更让人意想不到的是，正是丘成桐27岁时的成名之作，成为了弦论学者笃信十维空间的关键论据之一。

1985年，物理学家坎德拉斯、霍洛维茨等人合著论文《超弦的真空结构》指出，多出来的六个维度，必须隐藏于卡拉比-丘流形之中。

隐藏六维的空间

事情还要从爱因斯坦的广义相对论说起。

基于黎曼几何这种包含弯曲空间的几何学，爱因斯坦成功把重力理论和狭义相对论统一了起来，完成了著名的广义相对论。

也就是说，广义相对论这颗明星，正是几何学和物理学的一个闪亮交点。

爱因斯坦本人就这样解释道：

这套理论指出重力场由物质的分布决定，并随之而演化，正如黎曼所猜测的那样，空间并不是绝对的，它的结构与物理不能分割。我们宇宙的几何绝不像欧氏几何那样孤立自足。

这颗明星，自然而然吸引了专注于几何学的青年丘成桐的注意。

上世纪70年代，在研究爱因斯坦方程组时，丘成桐开始思考一个问题：

能否找到一个真空，即没有物质的时空，但其曲率并不平凡，即其重力非零。

并且这个时空光滑不带奇点，是紧致而封闭的。

△丘成桐，图源：CCTV

其实，这就是几何学家卡拉比在1954年提出的卡拉比猜想：在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引力场？

卡拉比猜想不仅指出封闭而具有重力的真空存在，而且还给出了系统地大量构造这类空间的途径。

但在这一猜想提出的22年间，包括卡拉比自己在内，没有人能够证明它是否正确。

直到1976年，时年27岁的丘成桐一举实现突破，证明卡拉比猜想成立，自此名动世界。

这一成果让他在1982年成为数学界最高奖菲尔兹奖首位华人得主。

△卡拉比与丘成桐

也正是卡拉比猜想的证明，带来了“超弦理论的基石”——卡拉比-丘流形。

具体而言，丘成桐在证明猜想的过程中，构建出了不带物质的凯勒流形。也就是卡拉比-丘流形（又称卡拉比-丘空间）。

△卡拉比-丘流形的3维投影，图源：维基百科

1984年，丘成桐接到了物理学家加里·霍洛维茨（Gary Horowitz）和安迪·斯特鲁明格（Andy Strominger）的电话。

他们两人都是弦论的支持者。这里所说的弦论指的是“超弦理论”，其基本假设包括，所有基本粒子都是由不断振动的弦线组成，时空具有超对称性，并且是十维的。

他们告诉丘成桐，他们正在研究三维空间和时间之外，弦论中另外六个维度存在的形式。

具体而言，他们需要找到一种具有超对称性的流形，并且根据弦理论，这个流形不带任何物质分布，是真空的。

丘成桐回复说：

这些流形（卡拉比-丘流形）在维数等于6时，确实能满足弦理论的要求。

次年，霍洛维茨、斯特鲁明格，以及另外两位物理学家坎德拉斯（Philip Candelas）和威滕（Edward Witten）合作发表了论文《超弦的真空结构》。

这篇文章指出，多出来的六个维度，必须隐藏于卡拉比-丘流形之中。此六维独立于四维时空的每一个点。

更重要的是，如丘成桐本人所说：

（弦论）进一步指出卡拉比-丘空间的几何，决定了这个宇宙的性质和物理定律。

哪种粒子能够存在，质量是多少，它们如何相互作用，甚至自然界的一些常数，都取决于卡拉比-丘空间。

物理学家布莱恩·格林（Brian Greene）也说：

宇宙的密码，也许就刻在卡拉比-丘空间的几何之中。

最初打算找到卡拉比猜想的反例

鲜为人知的是，丘成桐最初了解到卡拉比猜想时，是想证明其所描述的空间并不存在。

理由很简单：

这个猜想不仅指出封闭而具有重力的真空的存在性，还给出系统地大量构造这类空间的途径，大家都认为世间哪有这样便宜的东西可捡！

当时，不少几何学家都在质疑卡拉比猜想的，不过还没有人能给出反例。

根据猜想定义，一个第一陈类为0的紧致n维凯勒流形上应该有一个里奇平坦的度量。

只要找出一个这样的流形上，不存在里奇平坦度量，猜想即可被推翻。

丘成桐花了差不多3年时间，来找寻这种反例。

1973年，他终于得出了成果，并在出席国际几何会议期间，将此消息告诉了几位朋友。

消息一下子传了开来，引发圈内震动，以至于他被要求在当天晚上对自己的成果另作报告。

丘成桐回忆，那晚有三十多位几何学家聚在数学大楼的三楼，其中包括卡拉比、陈省身和其他知名学者。

他把自己如何构造出这一反例说了一遍，大家似乎都非常满意，卡拉比本人甚至还为这一构造给出了一个解释。

陈省身则在大会闭幕时拉着丘成桐说，这个反例或许可被视为整个大会最好的成果。

要知道，卡拉比猜想中涉及到的“陈类”概念，便是因陈省身而得名。

丘成桐描述自己当时的心情：“既意外，又感到兴奋不已。”

△陈省身与丘成桐

但反转却来得很快。

仅仅过去两个月后，卡拉比致信丘成桐，希望他能为自己解释反例中一些没有弄清楚的问题。

看到这封信，丘成桐马上明白，自己出错了。

在他的自述中提到，自此之后两个星期，他不眠不休，希望能重新构造一个反例。

身心差不多要垮掉。

可是真理总爱捉弄人，每当他似乎找到一个理想中的反例时，总是瞬间有推翻它的理由出现。

如此经历数次后，丘成桐选择180度调转研究方向，开始证明卡拉比猜想。

终于在1976年，卡拉比-丘空间和世人见面，轰动数学界，并为之后超弦理论的物理应用、“超弦热”奠定了数学基础。

而顺着这条研究路线，丘成桐之后还进一步论证了镜像对称猜想。

镜对称是指两个具有不同拓扑的卡拉比-丘空间，看起来甚至没什么共通点，但却拥有相同的物理定律。

最初是物理学家菲利普·坎德拉斯等人发现了这一问题，并从物理角度证明镜像对称可用于计算卡拉比-丘空间上有理曲线的数目。

丘成桐形容，镜对称是对偶性的一个重要例子。

它就像一面窗，让我们窥见卡拉比-丘流形的隐秘。

实际上，很多在卡拉比-丘空间上要解决的难题，如果放到镜像上考虑，问题往往迎刃而解。

1996年，丘成桐和前文提到的斯特鲁明格，以及埃里克·扎斯洛（Eric Zaslow）共同提出SYZ猜想，这是理解镜对称猜想的一次尝试。

SYZ猜想提出，六维卡拉比-丘空间本质上可以分成两个三维空间，其中之一是三维环面。如果模仿把半径 r 变成 1/r 的操作，把这些三维环面“翻转”，并与另一个三维空间结合起来，就会得到原卡拉比-丘空间的镜伴。

紧接着1997年，丘成桐和连文豪、刘克峰合作（与Givental同时），用局部化技巧完全证明关于卡拉比-丘空间上有理曲线计数的镜猜想。

值得一提的是，其中连文豪是美国布兰迪斯大学教授，于2013年获陈省身奖。

刘克峰曾于1998年获得斯隆奖。

正是他与丘成桐一起，发起创建了丘成桐数学英才班、创办丘成桐中学数学论文奖和丘成桐大学生数学竞赛。

他现任美国加州大学洛杉矶分校数学系教授、浙江大学数学中心执行主任。

One More Thing

在丘成桐的自传中曾提到，由于卡拉比-丘空间流传甚广，甚至他自己有时都会产生错觉：

卡拉比是否也是我的名字？

的确，从坎德拉斯等人在30年前将卡拉比-丘连接起来后，这个组合词的意义有时已经超出了数学物理范围。

比如伍迪·艾伦2003年在《纽约客》上发表的故事，里面提到一位女士的微笑，“向上弯成卡拉比-丘的形状”。

对此，丘成桐并不介意“卡拉比”是否会被混淆为他的名字。他觉得，很荣幸能和卡拉比一起并称。

而另一位主人公卡拉比也曾说道：

我很高兴我的名字和丘永远连在一起。

参考链接：
[1]丘成桐《我们真的活在十维时空里吗？》：https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35401.pdf
[2]丘成桐《我的几何人生：丘成桐自传》
[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Calabi%E2%80%93Yau_manifold
[4]https://www.um.edu.mo/zh-hant/news-and-press-releases/presss-release/detail/18478/