改进沿用70年的数论方法

鱼羊 梦晨 发自 凹非寺

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张益唐在北大学术报告，各平台超10万人在线观看，一起见证历史！

张益唐攻克朗道-西格尔零点猜想的消息，不断牵动人心。

此事也因为论文在arXiv上公布，以及他本人首次公开直播介绍成果，而再次被推向高潮。

一位学数学的朋友表示，“今天睁眼第一件事，就是看张益唐的直播”。

在这次报告中，张益唐再次提到了“大海捞针”。

有人说他证明孪生素数猜想就像大海捞针，他自己则觉得朗道-西格尔零点猜想的证明更像大海捞针。

这次的学术报告，让张益唐有机会深入介绍了他这个“被闪电击中两次的人”究竟是怎么“大海捞针”的。

据浙大数学教授蔡天新透露，张益唐的研究生导师、中科院院士潘承彪听了报告后评论到：

听了益唐讲的想法很清楚，这是一个重要的筛法新思想，有很大发展潜力，可实现起来很难。

从大海捞针到另辟蹊径

朗道-西格尔零点猜想，是广义黎曼猜想的一个特殊形式。

简单来说这个问题可以这样理解：数学家们想要证明，狄利克雷的L函数并不存在一个非常接近1的零点（即朗道-西格尔零点）。

在朗道-西格尔零点猜想中，L函数的实零点与1的距离应为：

面对这个问题，一开始，张益唐的想法是这样的。

首先，构造一个实数序列 {xn}，如果存在朗道-西格尔零点，就推出xn≥0。

那么只要证明有xn＜0，朗道-西格尔零点就是不存在的。

而根据塞尔伯格筛法，这个问题就变成了，要找到一组实数序列 {ξn}，使得：

张益唐形容，找这个ξn，就是一个大海捞针的过程。但直到他把海底的情况都摸清楚了，也没找出这根针来。

不过到这时候张益唐发现，即使没有这根“针”，他也能解决这个问题。

这个新想法，被他归结为一个非常基础的式子：ac-bd=(a+b)c-(c+d)b。

展开来说，就是张益唐引入了两组序列 {an+bn} 和 {cn+dn}。

他证明，xn与 (an+bn)^2的乘积之和非常接近0。第二组序列同理。

这时候，假定xn≥0，基于 ac-bd=(a+b)c-(c+d)b，就可以推出以下结果：

接着根据柯西不等式，估计左右两边式子的上界，就会发现，这个不等式的左边比右边大，是不成立的。

这样，张益唐就得到了3个命题，最后通过证明3个命题，得到实零点与1之间的距离应小于：

这部分更具体的细节，在论文的第二节。

改进沿用70年的数论方法

省去很多繁琐细节，张益唐只用了40分钟左右就尽量以易懂的语言介绍了自己艰深的研究。

接下来的观众提问环节，很多人关心这个成果究竟能用在什么地方？

在此前活动中张益唐曾表示，它比孪生素数猜想的意义更大。

朗道-西格尔零点猜想有点像黎曼猜想那样，它一解决，一百个猜想都变成定理了。

这次的学术报告让他可以把话题更深入到对数论的影响。

张益唐认为对于很多数论问题而言，朗道-西格尔零点是一个瓶颈。跨越过这个瓶颈，就会有很多应用出来。

比如“素数在等差级数中的分布”是一个长期悬而未决的问题。

如果朗道西格尔零点存在，就代表某些等差级数里素数会特多，某些里会很少。

但是我这个结果出来以后，至少把这个解决了。

张益唐还具体讲了数论的两个分支，解析数论与代数数论。

牵扯到解析数论，那什么地方都得用到这个。

代数数论中二次域的类数问题，会给出一个非常强的结果。

除了研究结论之外，张益唐这次用到的方法同样意义重大。

1950年前后，阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）提出塞尔伯格筛法，成为数论研究中的重要工具并沿用至今。

在很长一段时间里，该方法都是“初步估计在一个小区间里素数分布之上界”的唯一方法，曾使哥德巴赫猜想前进一大步，张益唐解决孪生素数猜想的思路也受其启发。

这一次张益唐通过不断地“大海捞针”，虽然没有捞到塞尔伯格筛法中的那根“针”，但终于是设计出了新的方法。

新方法不依赖于“求二次型极值”，除了用于朗道-西格尔零点猜想外，还有望用于其他数论问题。

张益唐本人表示，他正在思考能不能用新方法改进之前的孪生素数猜想结果。

这是可以考虑的，我也会往这方面去想。

张益唐在他的孪生素数猜想论文中证明了“存在无穷多间距小于七千万的相邻素数对”。

七千万这个数字，后来在全世界数学家合作的Polymath Project 8项目努力下已经缩小到了246。

使用新方法，这个间距有望继续朝着最终目标2前进。

同时，这也意味着朗道-西格尔零点猜想的结果是可以改进的。

张益唐为致敬他做出成果的这一年，把相应的数字选为2022，这一次的最终目标则是1。

还有人开玩笑说，如果他能在2021年完成证明，那结果就能比现在更精确一点。

在这次报告上，张益唐表示靠现在这个方法应该是能做到几百。

……只是我还没有去做。但是要到1目前这个方法还是不够的。

目前这篇新论文还未经过同行评议，有待学术界验证其结论。

而一旦论文被承认是正确的，可以预见的是接下来数学界也会在他的工作基础上不断向1进发。

最后，在热议中还有一些人关注到了张益唐的年龄。

一旦论文被验证，67岁的张益唐就打破了著名数学家哈代“数学是年轻人的游戏”这个论断。

在之前接受采访时，张益唐就多次表示自己不赞同这个说法”。

我对他那个东西不是很注意，我觉得好像跟我没直接关系似的，我没有受那些东西的影响。

如今他证明了新的猜想，也用实际行动证明了自己的话。

张益唐零点猜想论文：
https://arxiv.org/abs/2211.02515

参考链接：
[1]https://news.ycombinator.com/item?id=33512338
[2]https://weibo.com/1277439255/Me402b5zI
[3]https://mp.weixin.qq.com/s/MIztT_oTB8taIHRoobAoDA

— 完 —